快速幂时一种给幂运算加速的算法。

比如说我们在算 $2^{10}$ 时，如果一步一步去算需要 $9$ 步，而如果我们先算 $2^2 = 2 \times 2$，再算 $2^5 = 2^2 \times 2^2 \times 2$，最后算 $2^{10} = 2^5 \times 2 ^ 5$。

后面的一种方法就是快速幂，运用类似二分的方法把原本的 $O(n)$ 压缩到 $O(\log n)$。

思路

我们定义一个函数 $f(n)$：

• 如果 $n = 0$，$f(n) = 1$，因为任意自然数的 $0$ 次方都等于 $1$。
• 如果 $n \bmod 2 = 1$，那么 $f(n) = f(n – 1) \times a$，其中 $a$ 为底数。
• 如果 $n \bmod 2 = 0$，那么 $f(n) = f(n \div 2) ^ 2$。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
/*
*/
#define ll unsigned long long
ll p(ll a, ll b, ll q) {
    // cout << a << " " << b << " " << q << "\n";
    if (b == 0) return 1ull;
    else if (b % 2 == 1) return ((a % q) * p(a, b - 1ull, q)) % q;
    else if (b % 2 == 0) {
        ll t = p(a, b / 2ull, q) % q;
        return (t * t) % q;
        //【注意】不要写成p(a, b / 2ll, q) * p(a, b / 2ll, q)，不然就是龟速幂了。
    } 
}
int main() {
    // ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    ll a, b, q; cin >> a >> b >> q;
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, q, p(a, b, q));
    return 0;
}

注意

注意在当 b % 2 == 0 的时候，不能写成 p(a, b / 2ll, q) * p(a, b / 2ll, q)，否则时间复杂度就等同于暴力了。